本福特定律，也称为本福德法则，说明一堆从实际生活得出的数据中，以1为首位数字的数的出现机率约为总数的三成，接近期望值1/9的3倍，推广来说，越大的数字，以它为首几位的数出现的机率就越低；精确地数学表述为：在b进位制中，以数n起头的数出现的机率为logb(n + 1) − logb(n)。

例如，在十进制中，首位数字出现的概率为p=log10(n + 1) − log10(n)：

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
p	30.1%	17.6%	12.5%	9.7%	7.9%	6.7%	5.8%	5.1%	4.6%

本福特定律的适用范围
这个定律是一个非常神奇的定律，它的适用范围异常的广泛，几乎所有日常生活中没有人为规则的统计数据都满足这个定律。比如说世界各国人口数量、各国国土面积、账本、物理化学常数、数学物理课本后面的答案、放射性半衰期等等数据居然都符合本福特定律。值得一提的是，科学家还发现，统计物理的三个重要分布，Boltzmann-Gibbs分布，Bose-Einstein分布，Fermi-Dirac分布，也基本上满足Benford定律！

适用前提
第一，这些数据必须跨度足够大，必须横跨好几个数量级才能产生这个结果。第二，有人为规则的数据就不满足次定律，比如说手机号码、身份证号、发票编号等数据，明显不满足这种对数分布律。也就是说，本福特定律正是没有任何限制才显露出来的定律，越是对数据的产生有人为限制，越是不满足该定律。第三，数据不能经过人为修饰，随便人为修改的数据一般就不满足本福特定律了，比如当年著名的安然公司造假案，他们的账本就没有满足本福特定律，因此这个神秘的定律甚至可以用来判别是否财务造假。。

为何自然产生的数据会满足这么奇特的一个定律，而不是均匀分布呢？

本福特定律产生的根源，就在于指数增长。这幅图可以直观的显示，如果一个变量随时间成指数增长的话，那么这个变量开头的数字随着时间的变化就应该是如下图：（横轴代表时间，纵轴代表那个变量）

显然，在某时刻你得到它以1开头的概率要大于9开头。而这是只取一个值的情况，如果是取大量的数据的话，在某时刻你观察到他以1开头的数据数量就大于以9开头的数量了。而指数增长的形式在自然界是十分普遍的，只要一个变量的增长率和他的大小成正比，结果就会是指数增长。比如说人类科技发展的速度大致和已有的科技成果成正比，所以人类的科技发展就是个指数增长；人口增长率会和已存在人口数成正比，因此没有资源限制的人口增长也是指数增长。指数增长是自然中极为普遍的一种变化规律，而这种变化规律可以直接导致本福特定律。

另外一种直观的解释（来自维基百科）是这样的

从数数目来说，顺序从1开始数，1,2,3,…,9，从这点终结的话，所有数起首的机会似乎相同，但9之后的两位数10至19，以1起首的数又大大抛离了其他数了。而下一堆9起首的数出现之前，必然会经过一堆以2,3,4,…,8起首的数。若果这样数法有个终结点，以1起首的数的出现率一般都比9大。

就以一个城市的所有门牌号为例，有的街道门牌号可能在100多就结束了，有的在500多结束，有的在900多结束。注意到500多结束那条街一定包含了1、10+和100~199这些1开头的门牌号，而不包含9开头的百位数，只包含9及90+的以9开头的数，这样一来明显以1打头的就多于9打头的了。然后对整个城市的所有街道做一个综合，最终就满足本福特定律了。

 

另外，值得一提的是，本福特定律满足尺度不不变性，即如果我们换一套单位制，本福特定律仍然成立。其实，这也可以作为大自然产生的统计数据满足该定律的一个解释：如果我们把原来的单位是米的统计数据换一个单位，例如换成英尺或者公尺，那么统计数据的分布应当不变。而唯一满足这种尺度不变性的分布，应当是某种对数分布，也就是本文的主角本福特定律。

作者：physixfan
链接：http://www.guokr.com/article/520/
来源：果壳
本文版权属于果壳网（guokr.com），禁止转载。如有需要，请联系sns@guokr.com

其他相关：

1. http://www.isaca.org/JOURNAL/ARCHIVES/2010/VOLUME-1/Pages/Using-Spreadsheets-and-Benford-s-Law-to-Test-Accounting-Data1.aspx
2. https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ss/1177009869
3. https://blogs.cfainstitute.org/marketintegrity/2013/10/23/the-role-of-data-analytics-in-sec-fraud-investigations/